arik1959 писал(а):Климов Павел писал(а):Что вам мешает взять dr равным миллиарду диаметров солнц?
1. Законы геометрии - чтобы в таком виде представлять объём сферы (4 πr² d r), необходимо, чтобы площадь, описываемая радиусом R1 (в идеале) совпала с площадью, описываемой радиусом r. Это означает, что R1→r, и d r→0. Такой вид записи применяется для упрощённого (приближённого) расчета, где величиной ошибки можно пренебречь. - Это не наш случай.
Доказательства, что величиной ошибки нельзя пренебречь?
arik1959 писал(а):2. Утверждается, что освещённость, создаваемая слоем, не зависит от расстояния.
Рассмотрим, в каких случаях такое возможно: S = L/4¶r²
Опять рассматриваете одну звезду? Правда что-ли не видите разницы?
Давайте рассмотрим 2D вариант.
Аналогией звезды будет точка, из которой во все стороны лучи.
Тогда освещенность создаваемая такой 2D звездой, на точку будет L/(2 pi r).
Почему? Объясняю.
Представим себе из этой точки идёт N лучей расположенных равномерно по углу.
Тогда угол между соседними лучами будет 2*pi / N.
Вспоминаем, что освещённость в 3D у нас это количество лучей на единицу площади, а в 2D аналогией будет количество лучей на единицу длины.
Теперь посчитаем сколько лучей попадает на отрезок длины l расположенный на расстоянии r перпендикулярно к направлению из точки из которой идут лучи.
Тогда
угловой размер этого отрезка из точки из которой идут лучи - будет равен 2*arctan((l/2) / r).
Так как у нас угол между соседними лучами 2*pi / N то всего лучей в этом угловом размере уместится:
2*arctan((l/2) / r) / (2*pi / N)
Осталось поделить количество лучей, на длину отрезка, и получим аналогию освещенности.
2*arctan((l/2) / r) / (2*pi / N) / l
Упростим.
2*arctan((l/2) / r) / (2*pi / N) / l = arctan((l/2) / r) / l * (2 * N / 2*pi) = arctan(l/(2 r)) / l * (N/pi)
Устремим l к нулю, посчитаем предел.
lim l->0 ( arctan(l/(2 r)) / l * (N/pi) ) = N/pi lim arctan( l / ( 2 r ) ) / l (Вынес константу за скобки)
По
правилу Лопиталя:
lim arctan( l / ( 2 r ) ) / l = lim arctan'( l / ( 2 r ) ) / (l)' = 1/( 1 + (l / ( 2 r ))[sup]2[/sup])* 1/(2 r) / 1 = 1/(1 + 0) / ( 2 r ) = 1/(2 r)
Пояснения: arctan'( x ) = 1/(1 + x^2). f'(g'(x))=f'(g(x))*g'(x). То есть arctan'( l/ (2 r) ) = 1/( 1 +(l / ( 2 r ))[sup]2[/sup]) * 1/(2 r). (l)' = 1.
Подставим решенный предел:
N/pi lim arctan( l / ( 2 r ) ) / l = N/pi * (1 / 2 r) = N/(2 pi r)
Что и следовало доказать. Чем больше лучей - тем больше попадает их на единицу длины.
Чем дальше отрезок - тем меньше попадает лучей на единицу длины.
Надеюсь после этого, точно нет вопросов почему должно быть L / ( 2 pi r ).
Теперь возьмём и рассмотрим равномерное расположение на бесконечной плоскости источников лучей.
Обозначим количество источников на единицу площади как n. Рассмотрим некоторую точку P, и полоску между окружностями радиусов r1 и r. Обозначим dr = r1-r. Тогда площадь полоски
S = pi r1^2 - pi r ^2 = pi (r+dr)^2 - pi r^2 = pi * (r^2 + 2 r dr + dr^2 - r^2) = pi * (2 r dr + dr^2)
pi dr^2 можно пренебречь, а можно не пренебрегать. Об этом позже.
Тогда если пренебречь pi dr^2 получим, что освещенность создаваемая кольцом (полоской):
S * n * L / ( 2 pi r ) = pi * 2 r dr * n * L / (2 pi r ) = L n dr.
И если собрать все полоски толщины dr, так как их бесконечное много, получим бесконечную освещенность в точке.
Напоминаю, это 2D вариант.
Теперь если не пренебречь pi dr^2 получим:
S * n * L / ( 2 pi r ) = pi * (2 r dr + dr^2) * n * L / (2 pi r ) = L n dr + (L n dr^2/ ( 2 r )).
Получим только больше освещенность, и от увеличения её, её бесконечность при суммировании всех колец (полосок) не пропадёт.