Итак, у нас имеется экспериментальная установка, называемая солнечной системой. Из наблюдений движения планет получены следующие закон Кеплера:
- Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов находится Солнце
- Секториальная скорость постоянна (то есть за равные промежутки времени радиус вектор Солнце->планета заметает одинаковую площадь)
- Квадраты периодов обращения двух планет по разным эллиптическим орбитам относятся как кубы их больших полуосей
На самом деле, можно показать, что закон (3) является следствием законов (1) и (2). Докажем (1) и (2) из закона притяжения Ньютона.
Мы будем использовать экспериментально установленные законы Ньютона
- Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
- В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
- Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению
Рассмотрим движение с одной степень свободы. Запишем второй закон Ньютона:
Массу для простоты можно считать единичной, либо можно на неё разделить и внести внутрь функции f.
По определению кинетическая энергия:
Потенциальная энергия:
Докажем закон сохранения энергии, он в дальнейшем нам понадобится:
Тут просто дифференцирование по t и использование второго закона Ньютона.
Теперь рассмотрим случай с несколькими степенями свободы. Будем считать, что силы у нас потенциальны. Запишем второй закон Ньютона и выведем закон сохранения:
Тут почти тоже самое, только вместо умножений используются скалярные произведения.
Определение: векторное поле называется центральным с центром в точке O, если оно инвариантно относительно движений, оставляющих точку на месте. (движение == вращение + отражение)
Рассмотрим центральное поле на плоскости. Систему координат поместим в точке O. r - радиус вектор, e_r - единичный вектор, направленный вдоль радиус вектора. Запишем второй закон Ньютона:
Гравитационное поле является частным случаем центрального, с U=-k/r. Докажем второй закон Кеплера для центрального поля.
Нам надо доказать, что за одинаковые промежутки времени радиус вектор заметает одинаковую площадь. То есть, скорость изменения площади S константа:
Первое уравнение это то что надо доказать. Второе это площадь сектора (можно вычислить как площадь треугольника по сторонам и углу). Третье уравнение это что в итоге доказываем.
Сначала докажем, что кинетический момент в центральном поле не зависит от времени. Всё просто, дифференцируем:
Далее, дифференцированием радиус-вектора доказываем, что скорость изменения площади константа:
Тоже никакой магии, просто дифференцирование. Итого доказали второй закон Кеплера:
Докажем теперь первый закон Кеплера.
Для начала вспомогательное утверждение. При движении точки единичной массы в центральном поле расстояние от центра меняется как r в одномерной задаче с потенциальной энергией V:
Доказательство:
1 строка - дифференцируем радиус-вектор. 2,3,4 - использование центральности поля. 5 - использование сохранения кинетического момента (предыдущее доказательство).
Далее для одномерной задачи применяем закон сохранения энергии, который доказали в самом начале:
1 строка - использование закона сохранения, 2 строка - использование сохранения кинетического момента, 3 строка - следствие первых двух.
Далее подставляем в форумул Ньютоновский потенциал
1 строка - запись Ньютоновского потенциала (k - гравитационная постоянная). 2 строка - вычисление интеграла. 3 строка - удобные замены переменных (получили параметр эллипса и эксцентриситет. 4 строка - формула эллипса.
В зависимости от начальных условий может получаться
- e = 0 движение по окружности
- 0<e<1 движение по эллиптической орбите
- e=1 движение по параболе
- e>1 движение по гиперболе
Очевидно, что (2) и (4) являются устойчивыми состояниями.
В итоге мы доказали, что орбитальное движение на Ньютоновских силах притяжения возможно и полностью согласуется с экспериментальными данными, полученными Кеплером.